[컴][수학] 선형독립, 선형종속

선형 종속, 선형 독립

선형종속, 선형독립

선형종속, 선형독립에 대해 알아보자. 둘의 관계를 이야기 하자면 반대되는 관계이다.

• 선형 종속(linear dependent) <---> 선형 독립(linear independence)

일단 말뜻을 좀 풀어보자면, 선형독립은 linear 한 값들이 독립적이다. 라는 뜻으로 해석해 볼 수 있을 듯 하다.(수학적 정의를 이야기하는 것이 아니니 오해하지 말자.)

그러니까 여기서 linear 한 값이 vector 들인데, 이 vector 들을 합해서 0을 만들 수 없다면, 이 vector 들은 독립적이라고 본 것이다.

반대로 선형종속은 vector 들을 합해서 0을 만들 수 있으면 서로 의존성이 있다고 본 것이다.

그리고 밑의 예제에서도 보면 알겠지만, 이것은 즉 1차 방정식이 성립하는 가를 보여준다. 즉, 2x + 1 = 0 같은 1차 방정식이 성립한다면, 그것은 곧 linear graph 를 그릴 수 있다는 뜻이 된다. 그러므로 이것을 linear dependent 라고 이야기하는 듯 하다.

예제

선형종속이 어떤 모습인지 좀 더 구체적으로 알아보기 위해 아래 동영상에 있는 예제를 하나 가져왔다.

• Linear Independence and Linear Dependence, Ex 1 - YouTube
• 가우시안-조단 소거법 : Using Gauss-Jordan to Solve a System of Three Linear Equations - Example 1 - YouTube
• nontrivial : linear 방정식에서 '0' 이외의 해가 존재하는 것

아래처럼 vector 가 3개 있다. 이 vector 의 linear combination 이 0 이 되게 해주는 a1, a2, ... 가 0 이외에 있다면, 이녀석은 linear dependence (선형종속) 라고 이야기 한다.

여기서 0 을 만들어주는 a1, a2, a3 가 존재하는 지 알기 위해 아래처럼 방정식을 세운다.

그래서 이것을 "가우시안-조단 소거법" 으로 풀면 아래와 같이 풀 수 있다.

위의 수식을 만족시키는 (a1, a2, a3) 는 0 vector 를 만들어줄 것이다. 그러므로 위의 vector 3개는 linear dependent (선형종속) 하다.

그래프, 기하학 관점에서 생각해보기

이 '선형종속'을 그래프에서 생각해 보자. 3개의 vector 의 합으로 0 을 만들 수 있다는 이야기는 '2개 vector의 합' 을 이용해서 나머지 '1개 vector ' 를 만들 수 있다는 이야기가 된다.( 0 이 되기위해서는 방향이 정 반대인 같은 크기의 값을 가져야 하니까)